复数（complex number）是指形如a+ib（a、b均为实数）的数，i称为虚数单位，满足i2=-1，通常记复数为z=a+ib，a、ib分别称为其实部与虚部。由所有复数构成的集合称为复数集或复数域，常用C表示。
复数的历史可追溯到15世纪。1484年，法国数学家舒开（Chuquet）在《算术三编》中第一次在形式上给出了负数的平方根。1545年，意大利数学家吉罗拉莫·卡尔达诺（Girolcomo Cardano）在著作《大法》中首次把负数的平方根写出来，其相关设想隐含着虚数的概念及复数的加法、乘法运算法则。1637年，法国数学家勒内·笛卡尔（Descartes）在《几何学》中给出了“虚数”这一名称，虚数由此流传开来，但此时一些数学家不承认虚数。
从18世纪开始，虚数被广泛地用于解决各种函数问题。1777年，瑞士数学家莱昂哈德·欧拉（Euler）在《微分公式》中首创了用符号作为虚数的单位，并创立了复变函数论的基本定理。1788年，挪威数学家韦塞尔（Wessel）用一个单位线段来表示复数的几何意义，形成了其几何术语定义以及平面向量的运算法则。1831年，德国约翰·卡尔·弗里德里希·高斯（Gauss）在《哥廷根学报》上明确了复平面的概念，并建立了复数的某些运算。1837年，英国数学家哈密顿（Hamilton）将复数定义为一个有序的实数对，奠定了复数理论严格的纯算术基础。19世纪，复变函数论逐渐发展起来。
复数的基本运算包括加法、减法、乘法、除法、乘幂、方根等，其四则运算满足交换律、结合律、分配律等规律。复数理论与代数、微积分相结合可形成一些新的概念。此外，该概念在其他领域中应用广泛，如在计算机科学中，应用四元数极性复指数变换可以有效检测图像中的复制—粘贴篡改，对篡改区域后处理操作具有较好的鲁棒性。
定义
虚数单位：在实数范围内，是不能开平方的，故方程的解在实数范围内是无解的，为了能够使负数开平方，引入一个新的数，叫作虚数单位。它是方程的两个解之一，其平方等于，即。
复数：形如的数称为复数，其中和是任意两个实数；称为虚数单位，满足，通常记复数为。和又分别称为复数的实部与虚部，记作
。
当时，，即为实数；当且时，称之为纯虚数。
由所有复数构成的集合称为复数集或复数域，常用表示。
和是两个复数，当且仅当时，称两个复数相等，记作。
历史
早期研究
复数的历史可追溯到15世纪。1484年，法国数学家舒开（Chuquet）在《算术三编》一书中，把方程的根写为，第一次在形式上给出了负数的平方根。1545年，意大利数学家吉罗拉莫·卡尔达诺（Girolcomo Cardano）在著作《大法》中，介绍了三次方程的求根公式，首次把负数的平方根写出来。同时，他还讨论了“负数的平方根”的某些性质，并把正数的平方根称为真实的根，负数的平方根为虚构的根。意大利数学家拉法耶尔·蓬贝利（Rafael Bombelli）在其1572年出版的《代数学》中引入了复数运算的方法。1637年，法国数学家勒内·笛卡尔（Descartes）在《几何学》中使“虚的数”与“实的数”相对应，并给出了“虚数”这一名称，虚数由此流传开来。但也引起了数学界的困惑，很多数学家都不承认虚数。1693年，英国数学家瓦利斯（Wallis）指出可以用一条垂直于实数轴的直线表示虚数，并给出了方程的根的几何图像。
从18世纪开始，虚数被广泛地用于解决各种函数问题。法国数学家亚伯拉罕·棣莫弗（Abraham de Moivre）于1730年发现了棣莫弗关系式，即棣莫弗定理。1747年，法国数学家让·达朗贝尔（d'Alembert）按照多项式的四则运算规则对虚数进行运算，得出它的结果总是的形式（都是实数）。1748年，瑞士数学家莱昂哈德·欧拉（Euler）发现了欧拉恒等式，且他于1777年在《微分公式》中首创了用符号作为虚数的单位，发现了复指数函数与三角函数间的关系，创立了复变函数论的一些基本定理。
后续发展
18世纪后期，随着对微积分研究的深入，数学家们逐渐认识到复数的性质和意义。1788年，挪威数学家韦塞尔（Wessel）在他的《关于方向的分析表示：一个尝试》的论文中，以作为一个单位线段来表示复数的几何意义，确立复数的几何术语定义以及平面向量的运算法则。1797年，德国约翰·卡尔·弗里德里希·高斯（Gauss）利用复数证明了代数基本定理。1806年，他公布了虚数的图像表示法，将虚数用一个平面上的点来表示，出现了由各点都对应复数的平面，即复平面，后被称为高斯平面。同年，日内瓦数学家让·罗贝尔·阿尔冈（Jean Robert Argand）用几何形式表示了，并引入了“模”一词代表向量的长度。
1811年，高斯从复数与实数的类似数性确立了复数的数性，并给出了“复数”这个词及其一般形式为。1831年，他在《哥廷根学报》上还给出了严格的复数的几何表示，形成了复平面的概念，并建立了复数的某些运算，使得复数的某些运算“代数化”，为复数和复变函数论的研究铺平了道路。至此，复数才被人们所接受。1837年，英国数学家哈密顿（Hamilton）将复数定义为一个有序的实数对，奠定了复数理论严格的纯算术基础。19世纪，复数的研究蓬勃兴起，学者们把数学和物理上的向量联系起来，找到了复数的物理模型，经过法国数学家奥古斯丁-路易·柯西（Cauchy）、德国数学家伯恩哈德·黎曼（Riemann）和卡尔·魏尔施特拉斯（Weierstrass）等人的贡献，复数理论逐步形成并发展成为重要的数学分支——复变函数论。
分类
几何意义
点对应
根据复数相等的定义，任何一个复数，都可以由一个有序实数对唯一确定。因为有序实数对与平面直角坐标系中的点一一对应，所以复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应。
如图，点的横坐标是，纵坐标是，复数可用点表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫作复平面，轴叫作实轴，轴叫作虚轴，实轴上的点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数。
按照这种方法，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应。由此可知，复数集和复平面内所有的点所成的集合是一一对应的，即
。
向量对应
在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一对应的，这样就可以用平面向量来表示复数。
如图，设复平面内的点表示复数，连接，则向量由点唯一确定；反过来，点（相对于原点来说）也可以由向量唯一确定。因此，复数集与复平面内的向量所成的集合也是一一对应的（实数与零向量对应），即
。
运算
加法、减法
加法、减法：两个复数相加就是它们相应的分量分别地相加，类似的原则对于减法也成立。设和是任意给定的两个复数，定义复数的加法和减法分别为：
，
，
称复数为复数与的和，称复数为复数与的差。
几何意义：若复数分别用对应的向量表示，则复数的加减法与向量的加减法一致，于是在平面上以、为边的平行四边形的对角线就表示复数，如图所示，对角线就表示复数。若将向量平移至向量，则向量就表示复数。由复数的几何意义可知，下列两个不等式成立：
，
，
其中，表示向量的长，也就是复平面上点之间的距离。
乘法、除法
乘法
乘法：两个复数相乘就是它们的模相乘，而幅角相加。两个复数相乘，可以按多项式乘法法则来进行，即
。
若复数用三角形式或指数形式表示，即
，，
则
。
显然
，。
几何意义：复数与的乘积在几何上相当于把对应的向量旋转，然后再伸长或缩短倍。
除法
除法：两个复数相除就是它们的模相除，而幅角相减，即
。
若
，
则
显然
，。
几何意义：复数与的商在几何上相当于把所对应的向量旋转，然后再伸长或缩短倍。
共轭复数、模、幅角、有理化
共轭复数
共轭复数：共轭复数是指实部相等，虚部的系数绝对值相等，符号相反的两个复数与，即是与共轭的复数，或称是的共轭复数，或是的共轭复数。共轭复数记为，即，那么有。
性质：
（1）共轭复数的和是实数，即为实数。因为，而是实数，所以是实数。
（2）共轭复数的积是实数，即为实数。因为，而和都是实数，所以是实数。
（3）两个复数的和的共轭复数等于各个复数的共轭复数的和，即。
（4）共轭复数关于实轴对称，，，，，点和关于实轴对称。
模、辐角
模：除了直角坐标表示外，还可用极坐标表示，对应的极坐标为，称作绝对值或模。
辐角：根据平面上的直角坐标与极坐标间的关系：，，复数又可以表示成
，
称为复数的三角式。
其中，为的解，表示了向量与正实轴之间的夹角，亦称复数的辐角，记为。的方向规定为逆时针方向为正，顺时针方向为负。
针对同一个的值，会有无穷多个角，将位于内的那一个角称为的主辐角或者主值，记为。
显然，对复数无辐角可言，而对每一个复数，其辐角有无穷多个，且
由于，所以，主辐角与有以下关系： 。
有理化
复数的有理化运算被定义为，把复数表达化成标准形式。能够把某些复数计算结果变成的标准形式，则便于把它的模和幅角用图表示出来。一旦把表达式变成分子同分母相比的形式，只要分子和分母都乘上分母的共轭复数。即
则能把它变成标准形式。这时分母已不包含它的虚部，只是一个实数。下面给出一个例子：
。
极坐标形式
除了直角坐标表示外，还可用极坐标表示。对应的极坐标时，取任何值均表示相同的数值，为得到唯一的表示，通常的选择是令；当时，辐角对取模后是唯一的。因此，如果两个复数唯一的差别是它们的辐角相差的整数倍，则认为它们是等价的，为得到唯一的表示，通常将的取值限制在区间内。
根据复数模与相位的定义，有：
该表示称为三角形式。根据欧拉恒等式有
式可以表示为
并称为复数形式。
乘幂、方根
乘幂：设是一个复数，是正整数，称个的乘积为的次幂，记为，则
当对应的极坐标时，可以得到棣莫弗公式：
。
方根：考虑非零复数的次方根。凡是满足方程的值称为的次方根，记为。
当时，显然；当时，设
，
则
所以
，
因此的次方根为
显然，只要取就可以得到个不同的根。取其他值时，得到的一定是这个值中的一个。例如，当时，非零复数的个不同的次方根均匀分布在以原点为圆心、半径为的圆周上，即它们是内接于该圆周的正边形的个顶点。
代数基本定理
代数基本定理是关于在复数域上具有复系数的任何代数方程的根的存在定理。它是关于多项式根的定理，其内容为：设是一个次数不小于的复系数多项式，则在复数域内至少有一个根。由此可推出，一个次复系数多项式在复数域内恰有个根，即复系数的代数方程一定有复数解。但是，该定理不适用于有理数域和实数域，如多项式在复数域中有两个根，但在有理数域和实数域中都没有根。
性质
（1）交换律：设与是两个复数，则
。
（2）结合律：设与是三个复数，则
。
（3）分配律：设与是三个复数，则
。
（4）单位元
对任何，，。
对任何，规定
，
。
所有其第二个数为零的复数的集合具有实数的集合的一切性质。特别地，复数起到复数系零的作用，且复数充当单位元的作用。即，此时加法零元是，乘法单位元是。
（5）逆元
加点的形式：对于任意复数，存在唯一的复数，使，常记为，并称为的负元素。任何的加法逆元是。
倒数：对于任一非零复数，都有逆元存在，记之为，它们满足：。任何， 的乘法逆元是。
抽象代数结构
作为商域的构造
从实数域构造复数域：从实数域得到复数域，引入虚元素，它使不可约多项式值为。复数域可认为是一个包含和的最小域，记为。
代数闭域：假设集合，那么是的代数扩张等价于是的有限扩张，也等价于是上的代数元。在任一域扩张中，上的代数元的全体构成一个中间域，叫做在中的代数闭包。设为一域，如果中每一个多项式在中都可以分解成一次因式的乘积，则称为代数闭域。
复数域的代数封闭性：复数域是一个代数闭域，实数域不是代数闭域。当代数闭域是的扩域时，称是的代数闭扩张。每个域都至少有一个代数的代数闭扩张。
矩阵表示
复数的乘法有着鲜明的几何背景，利用乘积的模与辐角公式，有，当时，乘法变成了单纯的旋转；当时，乘法变成了单纯的伸缩。
复数的矩阵表示：给定旋转变换
点在旋转矩阵作用下变换到点。类似地，记。根据复数与复平面上的向量一一对应，可以得到，即
可知式的作用都是将平面上的点逆时针旋转角到点。得出结论：
上式两边同时乘以不为零的常数，有
，即。
定理：复数等价于一个二阶实系数矩阵。其中对称矩阵表示复数的实部，反对称矩阵表示复数的虚部。
复变量函数
复数列
复数列：一列无穷多个有序的复数
称为一个复数数列，简称为复数列，记为。
复数列收敛：给定一复数列，设是一个复常数。若对任意给定的总存在自然数，使当时，有不等式
成立，则称是复数列当时的极限，记作
此时也称复数列收敛于。如果复数列不收敛，则称发散。
（1）充要条件：设则的充要条件是
。
（2）收敛性与抽象角度的度量：假如用抽象集合来替代实数集合及复数集合，并在中引入抽象距离函数，那么便形成了抽象度量空间的概念。而定义复数序列收敛性这一基本概念要用到复平面上的度量。在任意的度量空间中，可以研究中的点列，并能用度量按与微积分中相类似的方式去定义收敛性。
复指数
复指数函数：是表示复数和复函数以及实三角函数的工具，对，该函数定义为：
复指数函数将映射到\，它是实指数函数的一个推广，即，若，则，使用符号来表示。
，，
对及是成立的，与为实数的情形不同，最后一个等式（升幂运算）当不是整数时，一般是不成立的。
根据指数函数的定义，一个纯虚数的指数函数为：
因此复数
是落在单位圆上的，如下图。
复对数
复对数函数：定义为复指数函数的反函数。即若，则称为的对数。记作
设，则由
可得 ，
于是 ，
其中表示正实数的实自然对数，则
由此可见，对数函数是一个多值函数；对于每一个复数，有无穷多个值与之对应，它们的实部都是，而虚部相差的整数倍，如果取的辐角为其主值，那么，就得到对数函数的一个单值分支，记作
称为对数函数的主值。
类似地，对于式中每一个确定的，都确定了对数函数的一个单值分支。这些单值分支均可由主值分支表出
对数函数的主值，除去原点和负实半轴以外，处处连续，在原点和负实半轴上，它是间断的。事实上，设为负实半轴上任一点，当在第二象限内趋于时，有
而当在第三象限内趋于时，有
这说明，当趋于时，没有极限。
对于的其他分支，也有同样的结论。
等性质，因而复对数函数在一定意义下保持了实对数函数的性质。
复可微
复可微函数：是指在复数平面区域上的每一点的附近能用幂级数表示的函数。全纯函数是一个同时为连续单值及解析的函数。
设是在复数域的开集上定义的复值函数。点，如果
存在，则称函数是复可微的，称为在点的导致，用表示。如果在的每一点都是复可微的，称在是正则的。
复可微与实可微：设是在区域上的复函数，则在是复可微的，当且仅当在是实可微的且，。
复三角
复变量三角函数：复变量的三角函数均可用复变量的指数函数来表示，如正、余弦函数均是用指数函数定义的。
给定一个复数，复数正弦和余弦的定义分别为：
，
如果，则有
，
。
应用
计算机科学
图像的复制—粘贴（Copy-Move）篡改是一种常见的篡改方式，将一幅图像的某个或多个区域复制后粘贴到同幅图像的其他区域，以改变图像内容。基于图像重叠分块的基本思路是将图像进行重叠分块，提取图像块特征，进行特征匹配，从而定位篡改区域。四元数极性复指数变换可以将待测图像进行重叠分块之后，计算各分块的四元数极性复指数变换不变量，并作为每一块的特征向量，构成特征矩阵。该算法可以有效检测图像中的复制—粘贴篡改，并且对图像旋转、缩放、加噪和JPEG压缩等篡改区域后处理操作具有较好的鲁棒性。
物理学
许多物理量，如力、速度、电流等，都由矢量表示，把矢量的运算代之以复数运算，帮助解决物理学中的一些问题。例如，在空间科学领域对近地空间、深空等紫外目标的探测系统中，运用复数，将阳极与读出电子学联合建立模型，可推导出电子学读出等效噪声电荷的计算方法。通过比较，复共轭极点成形器等效噪声电荷性能优于实极点成形器，以此为依据优化了电荷灵敏放大器输入端参数以及成形器的阶数和时间常数，实现了一种低噪声探测系统。
工程学
复数与平面向量有许多相似之处，它在工程学中也有着广泛的应用。例如，在工程测量中，为了施工方便，根据需要，在施工过程中往往要将施工坐标转化成施工小坐标，这样的转化在隧洞防线中应用较为广泛。因此，常常通过引入复数的模、复角、旋转角和尺度参数，对工程中大地坐标与施工坐标之间相互转化进行分析、研究、合理优化，可以得出适合工程实际与方便编程应用的简洁公式，避免因坐标转换带来的不便，最终提升工作效率。
参考资料